3.24 \(\int x^3 (a+b \text{csch}^{-1}(c x))^3 \, dx\)

Optimal. Leaf size=195 \[ \frac{b^3 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 \text{csch}^{-1}(c x)}\right )}{2 c^4}+\frac{b^2 x^2 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )}{4 c^2}+\frac{b^2 \log \left (1-e^{2 \text{csch}^{-1}(c x)}\right ) \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )}{c^4}+\frac{b x^3 \sqrt{\frac{1}{c^2 x^2}+1} \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{4 c}-\frac{b x \sqrt{\frac{1}{c^2 x^2}+1} \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^3}-\frac{b \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^4}+\frac{1}{4} x^4 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^3+\frac{b^3 x \sqrt{\frac{1}{c^2 x^2}+1}}{4 c^3} \]

[Out]

(b^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(4*c^3) + (b^2*x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(4*c^2) - (b*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(2
*c^4) - (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(2*c^3) + (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^3*(a + b*ArcCs
ch[c*x])^2)/(4*c) + (x^4*(a + b*ArcCsch[c*x])^3)/4 + (b^2*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])])/c^
4 + (b^3*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c*x])])/(2*c^4)

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.232396, antiderivative size = 195, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 10, number of rules used = 10, integrand size = 14, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.714, Rules used = {6286, 5452, 4186, 3767, 8, 4184, 3716, 2190, 2279, 2391} \[ \frac{b^3 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 \text{csch}^{-1}(c x)}\right )}{2 c^4}+\frac{b^2 x^2 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )}{4 c^2}+\frac{b^2 \log \left (1-e^{2 \text{csch}^{-1}(c x)}\right ) \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )}{c^4}+\frac{b x^3 \sqrt{\frac{1}{c^2 x^2}+1} \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{4 c}-\frac{b x \sqrt{\frac{1}{c^2 x^2}+1} \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^3}-\frac{b \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^4}+\frac{1}{4} x^4 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^3+\frac{b^3 x \sqrt{\frac{1}{c^2 x^2}+1}}{4 c^3} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])^3,x]

[Out]

(b^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x)/(4*c^3) + (b^2*x^2*(a + b*ArcCsch[c*x]))/(4*c^2) - (b*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(2
*c^4) - (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x*(a + b*ArcCsch[c*x])^2)/(2*c^3) + (b*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x^3*(a + b*ArcCs
ch[c*x])^2)/(4*c) + (x^4*(a + b*ArcCsch[c*x])^3)/4 + (b^2*(a + b*ArcCsch[c*x])*Log[1 - E^(2*ArcCsch[c*x])])/c^
4 + (b^3*PolyLog[2, E^(2*ArcCsch[c*x])])/(2*c^4)

Rule 6286

Int[((a_.) + ArcCsch[(c_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*(x_)^(m_.), x_Symbol] :> -Dist[(c^(m + 1))^(-1), Subst[Int[(a + b
*x)^n*Csch[x]^(m + 1)*Coth[x], x], x, ArcCsch[c*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c}, x] && IntegerQ[n] && IntegerQ[m] &
& (GtQ[n, 0] || LtQ[m, -1])

Rule 5452

Int[Coth[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(p_.)*Csch[(a_.) + (b_.)*(x_)]^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Si
mp[((c + d*x)^m*Csch[a + b*x]^n)/(b*n), x] + Dist[(d*m)/(b*n), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Csch[a + b*x]^n, x], x] /
; FreeQ[{a, b, c, d, n}, x] && EqQ[p, 1] && GtQ[m, 0]

Rule 4186

Int[(csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]*(b_.))^(n_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> -Simp[(b^2*(c + d*x)^m*Cot[e
+ f*x]*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f*(n - 1)), x] + (Dist[(b^2*d^2*m*(m - 1))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), Int[(c + d
*x)^(m - 2)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2), x], x] + Dist[(b^2*(n - 2))/(n - 1), Int[(c + d*x)^m*(b*Csc[e + f*x])^(n
- 2), x], x] - Simp[(b^2*d*m*(c + d*x)^(m - 1)*(b*Csc[e + f*x])^(n - 2))/(f^2*(n - 1)*(n - 2)), x]) /; FreeQ[
{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n, 1] && NeQ[n, 2] && GtQ[m, 1]

Rule 3767

Int[csc[(c_.) + (d_.)*(x_)]^(n_), x_Symbol] :> -Dist[d^(-1), Subst[Int[ExpandIntegrand[(1 + x^2)^(n/2 - 1), x]
, x], x, Cot[c + d*x]], x] /; FreeQ[{c, d}, x] && IGtQ[n/2, 0]

Rule 8

Int[a_, x_Symbol] :> Simp[a*x, x] /; FreeQ[a, x]

Rule 4184

Int[csc[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((c + d*x)^m*Cot[e + f*x])/f, x]
+ Dist[(d*m)/f, Int[(c + d*x)^(m - 1)*Cot[e + f*x], x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 3716

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (Complex[0, fz_])*(f_.)*(x_)], x_Symbol] :> -Simp[(I*(c
+ d*x)^(m + 1))/(d*(m + 1)), x] + Dist[2*I, Int[((c + d*x)^m*E^(2*(-(I*e) + f*fz*x)))/(E^(2*I*k*Pi)*(1 + E^(2*
(-(I*e) + f*fz*x))/E^(2*I*k*Pi))), x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f, fz}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2279

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2391

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> -Simp[PolyLog[2, -(c*e*x^n)]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rubi steps

\begin{align*} \int x^3 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^3 \, dx &=-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int (a+b x)^3 \coth (x) \text{csch}^4(x) \, dx,x,\text{csch}^{-1}(c x)\right )}{c^4}\\ &=\frac{1}{4} x^4 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^3-\frac{(3 b) \operatorname{Subst}\left (\int (a+b x)^2 \text{csch}^4(x) \, dx,x,\text{csch}^{-1}(c x)\right )}{4 c^4}\\ &=\frac{b^2 x^2 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )}{4 c^2}+\frac{b \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x^3 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{4 c}+\frac{1}{4} x^4 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^3+\frac{b \operatorname{Subst}\left (\int (a+b x)^2 \text{csch}^2(x) \, dx,x,\text{csch}^{-1}(c x)\right )}{2 c^4}-\frac{b^3 \operatorname{Subst}\left (\int \text{csch}^2(x) \, dx,x,\text{csch}^{-1}(c x)\right )}{4 c^4}\\ &=\frac{b^2 x^2 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )}{4 c^2}-\frac{b \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^3}+\frac{b \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x^3 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{4 c}+\frac{1}{4} x^4 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^3+\frac{b^2 \operatorname{Subst}\left (\int (a+b x) \coth (x) \, dx,x,\text{csch}^{-1}(c x)\right )}{c^4}+\frac{\left (i b^3\right ) \operatorname{Subst}\left (\int 1 \, dx,x,-i c \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x\right )}{4 c^4}\\ &=\frac{b^3 \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x}{4 c^3}+\frac{b^2 x^2 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )}{4 c^2}-\frac{b \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^4}-\frac{b \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^3}+\frac{b \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x^3 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{4 c}+\frac{1}{4} x^4 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^3-\frac{\left (2 b^2\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{e^{2 x} (a+b x)}{1-e^{2 x}} \, dx,x,\text{csch}^{-1}(c x)\right )}{c^4}\\ &=\frac{b^3 \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x}{4 c^3}+\frac{b^2 x^2 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )}{4 c^2}-\frac{b \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^4}-\frac{b \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^3}+\frac{b \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x^3 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{4 c}+\frac{1}{4} x^4 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^3+\frac{b^2 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right ) \log \left (1-e^{2 \text{csch}^{-1}(c x)}\right )}{c^4}-\frac{b^3 \operatorname{Subst}\left (\int \log \left (1-e^{2 x}\right ) \, dx,x,\text{csch}^{-1}(c x)\right )}{c^4}\\ &=\frac{b^3 \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x}{4 c^3}+\frac{b^2 x^2 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )}{4 c^2}-\frac{b \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^4}-\frac{b \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^3}+\frac{b \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x^3 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{4 c}+\frac{1}{4} x^4 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^3+\frac{b^2 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right ) \log \left (1-e^{2 \text{csch}^{-1}(c x)}\right )}{c^4}-\frac{b^3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{2 \text{csch}^{-1}(c x)}\right )}{2 c^4}\\ &=\frac{b^3 \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x}{4 c^3}+\frac{b^2 x^2 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )}{4 c^2}-\frac{b \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^4}-\frac{b \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{2 c^3}+\frac{b \sqrt{1+\frac{1}{c^2 x^2}} x^3 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^2}{4 c}+\frac{1}{4} x^4 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right )^3+\frac{b^2 \left (a+b \text{csch}^{-1}(c x)\right ) \log \left (1-e^{2 \text{csch}^{-1}(c x)}\right )}{c^4}+\frac{b^3 \text{Li}_2\left (e^{2 \text{csch}^{-1}(c x)}\right )}{2 c^4}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 0.974611, size = 271, normalized size = 1.39 \[ \frac{-2 b^3 \text{PolyLog}\left (2,e^{-2 \text{csch}^{-1}(c x)}\right )+b \text{csch}^{-1}(c x) \left (c x \left (3 a^2 c^3 x^3+2 a b \sqrt{\frac{1}{c^2 x^2}+1} \left (c^2 x^2-2\right )+b^2 c x\right )+4 b^2 \log \left (1-e^{-2 \text{csch}^{-1}(c x)}\right )\right )+a^2 b c^3 x^3 \sqrt{\frac{1}{c^2 x^2}+1}-2 a^2 b c x \sqrt{\frac{1}{c^2 x^2}+1}+a^3 c^4 x^4+a b^2 c^2 x^2+b^2 \text{csch}^{-1}(c x)^2 \left (3 a c^4 x^4+b \left (c^3 x^3 \sqrt{\frac{1}{c^2 x^2}+1}-2 c x \sqrt{\frac{1}{c^2 x^2}+1}+2\right )\right )+4 a b^2 \log \left (\frac{1}{c x}\right )+b^3 c x \sqrt{\frac{1}{c^2 x^2}+1}+b^3 c^4 x^4 \text{csch}^{-1}(c x)^3}{4 c^4} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[x^3*(a + b*ArcCsch[c*x])^3,x]

[Out]

(-2*a^2*b*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x + b^3*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x + a*b^2*c^2*x^2 + a^2*b*c^3*Sqrt[1 + 1/(c^
2*x^2)]*x^3 + a^3*c^4*x^4 + b^2*(3*a*c^4*x^4 + b*(2 - 2*c*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*x + c^3*Sqrt[1 + 1/(c^2*x^2)]*
x^3))*ArcCsch[c*x]^2 + b^3*c^4*x^4*ArcCsch[c*x]^3 + b*ArcCsch[c*x]*(c*x*(b^2*c*x + 3*a^2*c^3*x^3 + 2*a*b*Sqrt[
1 + 1/(c^2*x^2)]*(-2 + c^2*x^2)) + 4*b^2*Log[1 - E^(-2*ArcCsch[c*x])]) + 4*a*b^2*Log[1/(c*x)] - 2*b^3*PolyLog[
2, E^(-2*ArcCsch[c*x])])/(4*c^4)

________________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.178, size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{x}^{3} \left ( a+b{\rm arccsch} \left (cx\right ) \right ) ^{3}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(x^3*(a+b*arccsch(c*x))^3,x)

[Out]

int(x^3*(a+b*arccsch(c*x))^3,x)

________________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*(a+b*arccsch(c*x))^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

1/4*b^3*x^4*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)^3 - 12*b^3*c^2*integrate(1/4*x^5*log(x)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^
2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c)^2 + 12*b^3*c^2*integrate(1/4*x^5*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^
2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c)^2 + 1/4*a^3*x^4 - 12*b^3*c^2*integrate(1/4*sq
rt(c^2*x^2 + 1)*x^5*log(x)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c) + 24*b^3
*c^2*integrate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^5*log(x)*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^
2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c) - 12*b^3*c^2*integrate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^5*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) +
1)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c) - 12*b^3*c^2*integrate(1/4*x^5*
log(x)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c) + 24*b^3*c^2*integrate(1/4*x
^5*log(x)*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c)
- 12*b^3*c^2*integrate(1/4*x^5*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^
2 + 1) + 1), x)*log(c) + 24*a*b^2*c^2*integrate(1/4*x^5*log(x)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2
*x^2 + 1) + 1), x)*log(c) - 24*a*b^2*c^2*integrate(1/4*x^5*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x
^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c) - 4*b^3*c^2*integrate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^5*log(x)^3/(sqr
t(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) + 12*b^3*c^2*integrate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^5
*log(x)^2*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) - 12*b^
3*c^2*integrate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^5*log(x)*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2
*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) - 4*b^3*c^2*integrate(1/4*x^5*log(x)^3/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2
+ sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) + 12*b^3*c^2*integrate(1/4*x^5*log(x)^2*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2
+ 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) - 12*b^3*c^2*integrate(1/4*x^5*log(x)*log(sqrt(c^2*x^2 + 1
) + 1)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) + 12*a*b^2*c^2*integrate(1/4*sqrt(c
^2*x^2 + 1)*x^5*log(x)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) - 24*a*b^2*c^2*inte
grate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^5*log(x)*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(
c^2*x^2 + 1) + 1), x) + 12*a*b^2*c^2*integrate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^5*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)^2/(sqrt(c^
2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) - 3*b^3*c^2*integrate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^5*log(
sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) + 12*a*b^2*c^2*inte
grate(1/4*x^5*log(x)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) - 24*a*b^2*c^2*integr
ate(1/4*x^5*log(x)*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x
) + 12*a*b^2*c^2*integrate(1/4*x^5*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^
2*x^2 + 1) + 1), x) - 12*b^3*integrate(1/4*x^3*log(x)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1)
+ 1), x)*log(c)^2 + 12*b^3*integrate(1/4*x^3*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2
+ sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c)^2 - 12*b^3*integrate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^3*log(x)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)
*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c) + 24*b^3*integrate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^3*log(x)*log
(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c) - 12*b^3*inte
grate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^3*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x
^2 + 1) + 1), x)*log(c) - 12*b^3*integrate(1/4*x^3*log(x)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^
2 + 1) + 1), x)*log(c) + 24*b^3*integrate(1/4*x^3*log(x)*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2
+ c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c) - 12*b^3*integrate(1/4*x^3*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)^2/(sqrt(c
^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c) + 24*a*b^2*integrate(1/4*x^3*log(x)/(sqrt(c^
2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c) - 24*a*b^2*integrate(1/4*x^3*log(sqrt(c^2*x^2
+ 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x)*log(c) + 1/4*(3*x^4*arccsch(c*x)
+ (c^2*x^3*(1/(c^2*x^2) + 1)^(3/2) - 3*x*sqrt(1/(c^2*x^2) + 1))/c^3)*a^2*b - 4*b^3*integrate(1/4*sqrt(c^2*x^2
+ 1)*x^3*log(x)^3/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) + 12*b^3*integrate(1/4*sqr
t(c^2*x^2 + 1)*x^3*log(x)^2*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1
) + 1), x) - 12*b^3*integrate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^3*log(x)*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)
*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) - 4*b^3*integrate(1/4*x^3*log(x)^3/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2
+ c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) + 12*b^3*integrate(1/4*x^3*log(x)^2*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^
2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) - 12*b^3*integrate(1/4*x^3*log(x)*log(sqrt(c^2*x^2 +
1) + 1)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) + 12*a*b^2*integrate(1/4*sqrt(c^2
*x^2 + 1)*x^3*log(x)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) - 24*a*b^2*integrate(
1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^3*log(x)*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^
2 + 1) + 1), x) + 12*a*b^2*integrate(1/4*sqrt(c^2*x^2 + 1)*x^3*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)
*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) + 12*a*b^2*integrate(1/4*x^3*log(x)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x
^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) - 24*a*b^2*integrate(1/4*x^3*log(x)*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/(sqrt
(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) + 12*a*b^2*integrate(1/4*x^3*log(sqrt(c^2*x^2 + 1
) + 1)^2/(sqrt(c^2*x^2 + 1)*c^2*x^2 + c^2*x^2 + sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1), x) + 1/12*(6*c^2*x^2 - 3*(c^2*x^2 + 1)
^2 + 4*(c^2*x^2 + 1)^(3/2) - 12*sqrt(c^2*x^2 + 1) + 6)*b^3*log(c)^3/c^4 + 1/6*(3*c^2*x^2 - 2*(c^2*x^2 + 1)^(3/
2) + 6*sqrt(c^2*x^2 + 1) - 3*log(c^2*x^2 + 1) + 3)*b^3*log(c)^3/c^4 - 1/2*(c^2*x^2 - 2*sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)*
b^3*log(c)^3/c^4 - 1/2*b^3*(2*sqrt(c^2*x^2 + 1) - log(c^2*x^2 + 1))*log(c)^3/c^4 + 1/4*(6*c^2*x^2 - 3*(c^2*x^2
+ 1)^2 + 4*(c^2*x^2 + 1)^(3/2) - 12*sqrt(c^2*x^2 + 1) + 6)*b^3*log(c)^2*log(x)/c^4 - 3/2*(c^2*x^2 - 2*sqrt(c^
2*x^2 + 1) + 1)*b^3*log(c)^2*log(x)/c^4 - 1/4*(6*c^2*x^2 - 3*(c^2*x^2 + 1)^2 + 4*(c^2*x^2 + 1)^(3/2) - 12*sqrt
(c^2*x^2 + 1) + 6)*b^3*log(c)^2*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/c^4 + 3/2*(c^2*x^2 - 2*sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)*b^3*l
og(c)^2*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/c^4 - 1/4*(6*c^2*x^2 - 3*(c^2*x^2 + 1)^2 + 4*(c^2*x^2 + 1)^(3/2) - 12*sqrt(
c^2*x^2 + 1) + 6)*a*b^2*log(c)^2/c^4 - 1/2*(3*c^2*x^2 - 2*(c^2*x^2 + 1)^(3/2) + 6*sqrt(c^2*x^2 + 1) - 3*log(c^
2*x^2 + 1) + 3)*a*b^2*log(c)^2/c^4 + 3/2*(c^2*x^2 - 2*sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)*a*b^2*log(c)^2/c^4 - 1/48*(18*c^2
*x^2 - 9*(c^2*x^2 + 1)^2 + 16*(c^2*x^2 + 1)^(3/2) - 96*sqrt(c^2*x^2 + 1) + 66*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1) - 30*
log(sqrt(c^2*x^2 + 1) - 1) + 18)*b^3*log(c)^2/c^4 - 1/48*(6*c^2*x^2 + 9*(c^2*x^2 + 1)^2 - 28*(c^2*x^2 + 1)^(3/
2) + 132*sqrt(c^2*x^2 + 1) - 132*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1) + 6)*b^3*log(c)^2/c^4 + 3/4*(c^2*x^2 - 4*sqrt(c^2*
x^2 + 1) + 3*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1) - log(sqrt(c^2*x^2 + 1) - 1) + 1)*b^3*log(c)^2/c^4 - 3/4*(c^2*x^2 - 6*
sqrt(c^2*x^2 + 1) + 6*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1) + 1)*b^3*log(c)^2/c^4 + 3/2*a*b^2*(2*sqrt(c^2*x^2 + 1) - log(
c^2*x^2 + 1))*log(c)^2/c^4 - 1/2*(6*c^2*x^2 - 3*(c^2*x^2 + 1)^2 + 4*(c^2*x^2 + 1)^(3/2) - 12*sqrt(c^2*x^2 + 1)
+ 6)*a*b^2*log(c)*log(x)/c^4 + 3*(c^2*x^2 - 2*sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)*a*b^2*log(c)*log(x)/c^4 + 1/2*(6*c^2*x^2
- 3*(c^2*x^2 + 1)^2 + 4*(c^2*x^2 + 1)^(3/2) - 12*sqrt(c^2*x^2 + 1) + 6)*a*b^2*log(c)*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) +
1)/c^4 - 3*(c^2*x^2 - 2*sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)*a*b^2*log(c)*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1)/c^4 + 1/24*(18*c^2*x^2
- 9*(c^2*x^2 + 1)^2 + 16*(c^2*x^2 + 1)^(3/2) - 96*sqrt(c^2*x^2 + 1) + 66*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1) - 30*log(s
qrt(c^2*x^2 + 1) - 1) + 18)*a*b^2*log(c)/c^4 + 1/24*(6*c^2*x^2 + 9*(c^2*x^2 + 1)^2 - 28*(c^2*x^2 + 1)^(3/2) +
132*sqrt(c^2*x^2 + 1) - 132*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1) + 6)*a*b^2*log(c)/c^4 - 3/2*(c^2*x^2 - 4*sqrt(c^2*x^2 +
1) + 3*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1) - log(sqrt(c^2*x^2 + 1) - 1) + 1)*a*b^2*log(c)/c^4 + 3/2*(c^2*x^2 - 6*sqrt(
c^2*x^2 + 1) + 6*log(sqrt(c^2*x^2 + 1) + 1) + 1)*a*b^2*log(c)/c^4

________________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*}{\rm integral}\left (b^{3} x^{3} \operatorname{arcsch}\left (c x\right )^{3} + 3 \, a b^{2} x^{3} \operatorname{arcsch}\left (c x\right )^{2} + 3 \, a^{2} b x^{3} \operatorname{arcsch}\left (c x\right ) + a^{3} x^{3}, x\right ) \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*(a+b*arccsch(c*x))^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(b^3*x^3*arccsch(c*x)^3 + 3*a*b^2*x^3*arccsch(c*x)^2 + 3*a^2*b*x^3*arccsch(c*x) + a^3*x^3, x)

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int x^{3} \left (a + b \operatorname{acsch}{\left (c x \right )}\right )^{3}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x**3*(a+b*acsch(c*x))**3,x)

[Out]

Integral(x**3*(a + b*acsch(c*x))**3, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (b \operatorname{arcsch}\left (c x\right ) + a\right )}^{3} x^{3}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(x^3*(a+b*arccsch(c*x))^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((b*arccsch(c*x) + a)^3*x^3, x)